Publication Type: Conference Paper/Unpublished Manuscript
Review Method: Peer Reviewed
Abstract: SUPERANDO L PROBLEMATICA TALL �VINNER EN LA ENSENANZA DEL CONCEPTO DE FUNCION CON LA AYUDA DE MATHEMATICA.

EL PROBLEMA
El desarrollo de este proyecto tiene que ver con nuestro inter�s por comprender y ayudar a resolver los problemas de formaci�n matem�tica que presentan los estudiantes de secundaria que ingresan a carreras t�cnicas y cient�ficas en la universidad colombiana, en particular, a la Universidad del Valle. En este contexto, las dificultades en la comprensi�n del concepto de funci�n son particularmente notables y, dada la importancia matem�tica del concepto, bastante influyentes en lo altos porcentajes de fracaso estudiantil que se presentan en los primeros cursos universitarios de matem�ticas. Reelaborando ([1]) planteamientos de Tall y Vinner ([2], [3]) relativos a problemas de comprensi�n conceptual hemos acu�ado el termino problem�tica Tall � Vinner para referirnos a los siguientes problemas:

A. El concepto imagen que construye un sujeto con relaci�n a un concepto matem�tico no es necesariamente coherente cuando el sujeto act�a frente a diferentes situaciones problem�ticas y puede presentar adem�s diferentes tipos de desadaptaciones matem�ticas respecto a la definici�n institucional. Por ejemplo, el concepto imagen puede ser muy restringido en t�rminos de la generalidad de la definici�n matem�tica del concepto. En otros casos el significado que se asocia con �l y que se pone en juego en alguna situaci�n, puede ser conflictivo con el significado del concepto socialmente aceptado (significado matem�tico).

B. El sujeto puede poseer una definici�n estable bien o mal adaptada matem�ticamente, que permanece aislada con relaci�n al concepto imagen como un todo. Se presentan casos de definiciones estables mal adaptadas y coherentes. Es com�n que, con relaci�n a un concepto que han estudiado, estudiantes universitarios no posean una definici�n personal, estable, bien adaptada matem�ticamente, coherente con el concepto imagen que evocan, cuando son confrontados con diferentes tareas.

Respecto de este problema nos interesaba verificar si estudiantes colombianos presentaban problemas similares a los reportados por Tall y Vinner. con relaci�n al concepto de funci�n. En segundo lugar, en que medida un sistema de computaci�n simb�lica, como Mathematica, podr�a contribuir en la elaboraci�n de una propuesta did�ctica para la ense�anza del concepto de funci�n, en la transici�n de la secundaria a la universidad, que facilitara al estudiantes la superaci�n de dicha problem�tica.
El proyecto se desarrollo con estudiantes de primer semestre del plan de estudios de F�sica de la Universidad del Valle que cursaban un curso de Matem�tica Fundamental. Este curso se puede considerar de transici�n entre las matem�ticas de la secundaria y las matem�ticas universitarias.
El contenido de este reporte de investigaci�n es parte de un trabajo mas amplio realizado por el Grupo de Educaci�n Matem�tica del Departamento de Matem�ticas de la Universidad del Valle con el nombre Sistemas de Computaci�n Simb�lica en el aprendizaje y ense�anza de las matem�ticas b�sicas universitarias ([4],[5])

OBJETIVOS
1). Describir y caracterizar el estado inicial de formaci�n matem�tica de los alumnos que ingresan a ingenier�a y ciencias de la Universidad del Valle y su evoluci�n al termino del primer semestre, con relaci�n a la problem�rica Tall � Vinner. construcci�n de un concepto personal de funci�n bien constituido matem�ticamente

2). Validar emp�ricamente una aproximaci�n did�ctica para la ense�anza del concepto de funci�n a estudiantes que ingresan a la universidad, apoyada en la utilizaci�n del SCS Matem�tica, que facilite al alumno adquirir una comprensi�n b�sica de funci�n entendida como la construcci�n de un concepto personal de funci�n bien constituido matem�ticamente

MARCO TEORICO
1. Los problemas de comprensi�n del concepto de funci�n los abordamos utilizando las nociones de concepto imagen, concepto imagen evocado, definici�n personal y definici�n institucional de un concepto introducidas deTall y Vinner, ([2], [3]). Desde esta perspectiva nos pareci� conveniente hacer algunas precisiones e introducir los conceptos de: definici�n personal estable, definici�n personal bien adaptada matem�ticamente y de coherencia local y global de una definici�n personal estable.([1]).

�Una definici�n personal, relativa a un concepto matem�tico, es estable en la medida en que la persona verbaliza tal definici�n sobre el concepto en forma consistente y equivalente en diferentes situaciones�.

�Una definici�n personal estable es bien adaptada o bien ajustada matem�ticamente si es equivalente a la definici�n institucionalizada de funci�n�.

�La coherencia de la definici�n se refiere al grado de articulaci�n que tiene dicha definici�n personal con la acci�n, es decir con el concepto-imagen evocado, cuando argumenta y opera con el concepto. Es decir, la definici�n, de una u otra forma, controla la acci�n del sujeto en las situaciones pertinentes. Se dice global cuando est� referida a distintos contextos. La llamaremos local cuando est� referida a un solo contexto o situaci�n. El concepto de coherencia global supone la estabilidad de la definici�n�

�Estabilidad no implica necesariamente buena adaptaci�n matem�tica. No es un fen�meno extra�o que una persona tenga una definici�n estable de un concepto, mal adaptada matem�ticamente. Tampoco se cumple que una definici�n personal estable, bien o mal adaptada, sea necesariamente coherente. Puede ocurrir, por otro lado, que una definici�n personal estable mal adaptada sea coherente, seg�n nuestra definici�n�.

Bajo el t�rmino Problem�tica Tall � Vinner hemos agrupado los distintos problemas presentados por dichos autores en torno a la comprensi�n de conceptos. La descripci�n de dicha problem�tica aparece en la secci�n anterior.

2. COMPRENSI�N BASICA DE FUNCION(Definici�n operativa)
En la b�squeda de una definici�n operativa de comprensi�n b�sica de funci�n, a nivel universitario, que en la pr�ctica nos permita determinar si un estudiante ha superado la problem�tica Tall- Vinner, utilizamos la definici�n de concepto que, desde una perspectiva psicol�gica, da Vergnaud ([6]) .
En [1], pags 12 y 13, se plantea:
�Al comparar la definici�n de Vergnaud con la de concepto imagen de Tall y Vinner, vemos que ambas apuntan a describir, acaso desde perspectivas diferentes, la misma entidad psicol�gica que nosotros llamamos concepto personal.. El empleo de una u otra depender�a de lo que se quiera observar�

�Es posible dar una interpretaci�n de la problem�tica Tall-Vinner en el contexto de la definici�n de Vergnaud. Se puede, por ejemplo, conectar la noci�n de concepto imagen evocado con la noci�n de invariante en la definci�n de Verganuad ([]). Llegamos as� a la siguiente definici�n de comprensi�n b�sica de funci�n

�Diremos que a nivel universitario un sujeto comprende el concepto de funci�n(o que ha construido un concepto personal de funci�n bien constituido o bien adaptado matem�ticamente) si dispone de un conjunto de invariantes(conocimientos en acto seg�n la definici�n de Vergnaud), ligados a contextos de representaci�n diferentes del concepto, consciente y coherentemente articulados en un invariante e tipo global, determinado por una definici�n personal estable de funci�n, bien adaptada matem�ticamente que le permite, en dichos contextos, poner en juego esquemas que organizan exitosamente procesos de identificaci�n de funciones y realizar c�lculos b�sicos con ellas. C�lculos que se formulan en el simbolismo institucional propio de las funciones y que deben ser reinterpretadas en los sistemas de representaci�n que identifican los diferentes contextos�.

No es dif�cil ver que la definci�n estas elaborada de suerte que su construcci�n por parte de un sujeto implique la superaci�n de la problem�tica Tall Vinner. Planteamos, igualmente, que la definici�n de comprensi�n que prescribimos para el nivel universitario garantiza un nivel de comprensi�n de la funci�n como proceso, seg�n la terminolog�a de Ann Sfard� [7]

�De acuerdo con las consideraciones te�ricas que hemos hecho, y siguiendo el planteamiento de Vergnaud, para que un estudiante pueda construir una versi�n personal del concepto de funci�n bien adaptada al concepto matem�tico, debemos propiciar situaciones de ense�anza que le permitan al alumno construir una tripla (S, I, L) relativa al concepto de funci�n. Donde S es el conjunto de situaciones o contextos que utilizan para construir el sentido del concepto (referentes); I es el conjunto de los invariantes (significados) que organizan y orientan las acciones del sujeto con relaci�n a la soluci�n de tareas que involucran el concepto matem�tico de funci�n y L los s�mbolos (significantes) de representaci�n verbal y no verbal que maneja el sujeto para expresarse sobre funciones particulares y sobre los procesos matem�ticos a que somete tales funciones�.
�El conjunto de invariantes se integran en una estructura que los comprende a todos. Esta es la estructura del concepto personal (o en la terminolog�a de Tall y Vinner el "concept Image") y debe poder revelarse verbalmente en una definici�n personal estable de funci�n, bien adaptada matem�ticamente� ([4]), pags 13,14)
Acaso en contradicci�n con Vinner ([2]), pero apoyados en argumentos de su art�culo, nuestra definici�n operativa de funci�n plantea, que a nivel universitario, la construcci�n de un concepto personal de funci�n bien constituido matem�ticamente, tiene como requisito la disponibilidad de una definici�n estable de funci�n, coherente globalmente y bien adaptada matem�ticamente, que integre diferentes invariantes asociados con su concepto imagen. El planteamiento remite a la discusi�n sobre el papel de la definici�n en la comprensi�n de un concepto.
METODOLOG�A UTILIZADA
Sobre la Propuesta Did�ctica
Nuestra propuesta did�ctica para ense�ar el concepto de funci�n, en un curso de transici�n de la secundaria a la universidad, con la ayuda de Matem�tica, se elabor� siguiendo los planteamientos consignados en el marco te�rico y poniendo especial �nfasis en la identificaci�n del conjunto S que aparece en la definici�n de concepto de Vergnaud

La Poblaci�n Objeto de Estudio
Estuvo constituida por un grupo experimental (GE)( 10 estudiantes), un grupo de control (GC)(11 estudiantes) y un grupo que llamamos abierto(GA)( 40 alumnos). GE y GC, se conformaron con estudiantes de un curso de Matem�tica Fundamental, ofrecido para f�sicos y estudiantes de ciencias. El grupo GA se conform� con estudiantes de ingenier�a que cursaban, en el mismo per�odo, un primer curso de c�lculo, sin ninguna relaci�n con los dos grupos anteriores.

El proceso
En el contexto del curso mencionado, a los estudiantes de GE se les ense�� un cap�tulo sobre funciones, elaborado por el grupo del proyecto. En su ense�anza se utiliz� Mathematica. Los estudiantes de GC, que formaban parte de un grupo mas amplio, que tomaba el mismo curso de matem�tica fundamental, se les ense�o tambi�n un cap�tulo de funciones utilizando los mismos materiales y tareas del grupo experimental, con adaptaciones por no hacer uso de Mathematica. Los dos grupos ten�an profesores diferentes pero los cursos manten�an una coordinaci�n acad�mica para asegurar el cubrimiento de los mismos contenidos y �nfasis... El grupo GA no fue objeto de nuestra intervenci�n .
Para indagar sobre el estado del concepto personal de funci�n de los estudiantes antes y despu�s de la intervenci�n, a los tres grupos se les aplico el mismo examen al comienzo(momento A) y al final del semestre(momento B).
Partiendo de un an�lisis comparativo de los resultados obtenidos en los dos momentos de aplicaci�n del examen nos interesaba determinar en qu� medida, los estudiantes de los grupos GE, GC, GA, al t�rmino del primer semestre, hab�an logrado superar los problemas y limitaciones relativas al aprendizaje del concepto de funci�n que hemos llamado problem�tica Tall Vinner. Naturalmente, en el caso de los grupos GE y GC nos interesaba analizar el impacto que hubiera podido tener, en la formaci�n matem�tica de los alumnos, la propuesta did�ctica sobre funciones, elaborada en el contexto del proyecto, y que se quer�a validar emp�ricamente con la experimentaci�n realizada.

El instrumento
Por razones de espacio no se incluyen los puntos del examen. Por igual raz�n, omitimos tambi�n consideraciones sobre el proceso de su construcci�n . Destacamos, simplemente, que un punto importante fue el de la identificaci�n de los contextos que pueden considerarse necesarios, desde una perspectiva matem�tica, para que el estudiante pueda construir una versi�n personal de funci�n bien adaptada a la definici�n de funci�n al estilo cuasi-conjuntista . En el marco de estos contextos se estudian problemas de inconsistencias del concepto imagen de funci�n del alumno, con relaci�n a distintos invariante asociados con el concepto de funci�n, en tales contextos. Igualmente, para explorar los problemas de coherencia global de la definici�n personal con los conceptos imagen que evoca el estudiante al resolver las tareas que se le proponen..
Es igualmente importante para
.


Lo que se observa. Los indicadores
Con el instrumento se pretend�a generar informaci�n que permitiera indagar, en las respuestas e los alumnos, sobre los distintos aspectos involucrados en la definici�n operativa de comprensi�n b�sica de funci�n. En particular sobre:
1. El nivel de �xito del estudiante al identificar funciones,(NEF) en los diferentes contextos seleccionados, y seleccionar funciones que posean inversa.(NEI).
Los indicadores NEF, NEI, son cuantitativos y sus .valores son promedios que se obtienen sobre el total de calificaciones obtenidas referidas al conjunto de 8 tareas, que, con relaci�n a cada indicador, se le proponen al alumno. (Ver anexo). En cada pregunta, el nivel de �xito se obtiene calificando, de 0 a 10, la acci�n del estudiante La calificaci�n de la acci�n se hace considerando el �xito o fracaso del estudiante con relaci�n a la tarea propuesta. No es relativa a la toma de conciencia (justificaci�n) de los medios para alcanzar el objetivo, pero, de alguna manera esta referida a la eficiencia del esquema que se pone en juego para realizar la tarea.

2. El nivel de �xito que tiene el estudiante para realizar c�lculos simples con funciones en dichos contextos cuando son indicadas en el simbolismo abstracto de funciones (f, f(x), f(f(x)), d=f(x), f(g(x))). [NEC(f(a)), NEC(f(f(a)). NEC(f(a) = b), NEC(h(g(a)))]
Los valores de estos indicadores calificaciones se obtienen como los valores de NEF y NEI y sus valores est�n, por lo tanto, en el rango [0,10]. Con ellos se configura el indicador NECB (nivel de �xito global en el c�lculo con funciones) cuyos valores son el promedio tomado sobre los indicadores que se articulan en el.

3. La disponibilidad del significado de los s�mbolos (f, f(x), f(f(x)), d=f(x), f(g(x)))(DSA)
El indicador DSA, esta referido a la comprensi�n generalizada de los s�mbolos f(a), f(f(a)), f(g(a)), f(x) = b y guarda, por lo tanto, una relaci�n con NECB. Se le asignan valores discretos en el intervalo [0,1], que se expresan como fracciones que indican el n�mero de s�mbolos que el alumno comprende en forma generalizada. Los valores que asume son, por lo tanto 0, 0.25, 0.50, 0.75, 1. El estudiante comprende un s�mbolo si esta en posici�n de interpretar su significado en mas de un contexto inherente a cada una de las 7 preguntas que, sobre estos s�mbolos, debe responder al alumno (Ver anexo).
4. El tipo de conceptos imagen evocados (CIE) que orientan la acci�n , del alumno, al identificar y construir funciones en los diferentes contextos seleccionados, y seleccionar funciones que posean inversa.
CIE es in indicador cualitativo cuyos valores son prototipos del concepto imagen que evoca el estudiante cuando realiza la tarea que se le propone. Estos prototipos se definen en el an�lisis a priori que se hace de las tareas propuestas y se ajustan seg�n las respuestas de los estudiantes. La descripci�n de prototipos aparece en la secci�n siguiente.

5. El tipo de definiciones personales ocasionales u estables de funci�n (DP ) que producen los alumnos como justificaci�n de sus acciones
DP es un indicador cualitativo cuyos valores son prototipos de las definiciones, explicitas o impl�citas, en las justificaciones que el alumno hace de sus acciones cuando resuelve las 8 tareas que se le proponen de identificaci�n de funciones y de la definici�n expl�cita de funci�n que se le solicita en la pregunta 10. Sus prototipos coinciden con los prototipos identificados para el indicador CIE

6. Sobre la buena adaptaci�n matem�tica (DP*) de las definiciones estables (DPE) que tienen los estudiantes
Los indicadores DPE y DP* son indicadores cuantitativos discretos que toman los valores 1 o 0, seg�n que tal definici�n este o no este presente en las explicaciones del sujeto (Ver criterios espec�ficos en el anexo)

7. El nivel de coherencia global que presentan las definiciones estables de funci�n que tienen los alumnos (COHG)

El indicador COGH se refiere al nivel de coherencia global que una definici�n estable(DPE) bien o mal adaptada matem�ticamente, exhibe con relaci�n al concepto imagen evocado(CIE). Se le asignan valores en la escala [0,1] que son fracciones que indican el numero de coherencias locales de la DPE con el CIE al resolver las 8 de tareas de identificaci�n de funciones que debe realizar el alumno. (.Ver criterios espec�ficos en el anexo)

EL INDICADOR VECTORIAL
Con los indicadores anteriores se configur� ([1])el siguiente indicador vectorial ICBF, que operacionaliza la definici�n de comprensi�n b�sica de funci�n que presentamos en el marco te�rico.
ICBF = (DP*, COHG, NEF, NEI, NECB, DSA)
Imponiendo condiciones a los indicadores componentes, ICBF puede ser utilizado para caracterizar niveles de comprensi�n. Para efectos de nuestro proyecto, caracterizamos dos niveles de comprensi�n:
Nivel 1 o nivel m�nimo de comprensi�n. N1CBF:
N1CBF = (DP* = 1, COGH 3 0.6, NEF3 6.0, NEI3 6.0, NECB3 6.0, DSA3 0.75)

Nivel 2 de comprensi�n. N2CBF:
N2CBF = (DP* = 1, COGH 3 0.75, NEF3 7.5, NEI3 7.5, NECB3 7.5, DSA3 0.75)

Nuestro planteamiento es que un estudiante que haya alcanzado, por lo menos el nivel 1 de comprensi�n puede concluirse que ha superado la problem�ticaTall � Vinner.

COMENTARIOS PARCIALES SOBRE RESULTADOS
La tabla siguiente muestra los porcentajes de estudiantes, que seg�n el indicador vectorial ICBF, indican tener los niveles 1 y nivel 2, en la comprensi�n b�sica de funci�n, tanto en el momento A como en el momento B

EXAMEN NIVEL GRUPOGE GRUPOGC GRUPOGA
A 1 0 percent 0 percent 17.1 percent
A 2 0 percent 0 percent 0 percent
B 1 63.6 percent 30.0 percent 27.3 percent
B 2 45.5 percent 10.0 percent 9.1 percent

En el momento A no existe un solo estudiante en los grupos GE y GC que exhiba un nivel aceptable de comprensi�n b�sica de funci�n, mientras que en el grupo GA, el 17.1 percent de los estudiantes logran evidenciar que han alcanzado el nivel 1, pero ninguno de ellos alcanza el nivel 2.
En el momento B, la situaci�n se modifica radicalmente. Los porcentajes de alumnos que en el grupo experimental GE alcanzan los niveles 1 y 2 de comprensi�n del concepto de funci�n (63.6 percent y 45.5 percent respectivamente) son notablemente superiores a los de los del grupo GC (30.0 percent y 10.0 percent) y GA (27.3 percent y 9.1 percent). Una observaci�n importante es que al pasar del nivel 1 al nivel 2, esto es, al elevar el nivel de exigencia para observar nivel de comprensi�n en el alumno, los porcentajes de estudiantes que cumplen con el nuevo criterio caen significativamente en todos los grupos llegando a valores muy bajos en los grupos GC y GA, mientras que en el GE el respectivo porcentaje se mantiene por el 45.5 percent o sea que presenta una mejor estabilidad.

La inmensa mayor�a de estudiantes que ingresan a la universidad del valle traen un concepto personal de funci�n muy precario, a todas luces inapropiado para estudiar con �xito un primer curso de �lgebra y mucho menos de �lgebra lineal. Al comparar los resultados del grupo GA, en el prime momento , con los resultados de otros grupos, se puede concluir que la situaci�n es m�s cr�tica entre estudiantes de ciencias que entre estudiantes de ingenier�a.

En todos los grupos, al t�rmino del semestre subsisten porcentajes apreciables de estudiantes que no han alcanzado niveles aceptables de comprensi�n del concepto de funci�n, siendo particularmente altos en los grupos GC y GA. La baja evoluci�n que se advierte a este respecto en el grupo GA muestra que la problem�tica Tall Vinner no es una problem�tica que se supere espont�neamente, que requiere de tratamiento did�ctico y que, al termino de un primer curso de calculo, pueden mantenerse problemas graves de comprensi�n del concepto de funci�n con sus implicaciones negativas en el aprendizaje del alumno.

El an�lisis individual de los indicadores componentes del el indicador vectorial, que no abordamos falta de espacio, permite ver, en primer lugar, que entre estudiantes colombianos se presentan problemas similares a los reportados por Tall y Vinner en [2],[3]. Incluso se identifican otros problemas que podr�an considerarse parte de dicha problem�tica. En segundo lugar, permite identificar un conjunto de esquemas err�neos entre nuestros estudiantes, informaci�n que podr�a ser utilizad para ayudar a superar las fallas que dichos estudiantes traen de la secundaria y que est�n condicionado negativamente su desempe�o en las matem�ticas universitarias.

La comparaci�n de resultados los grupos GE, GC y GA, que favorecen n�tidamente al grupo GE, indican que es posible utilizar con �xito un sistema de computaci�n simb�lica como Mathematica en la elaboraci�n de una propuesta did�ctica para ense�ar el concepto de funci�n en la transici�n secundaria-universidad, teniendo en mente la superaci�n de problemas de comprensi�n conceptual como los planteados en la problem�tica Tall � Vinner. Sin considerar su utilizaci�n como sine qua non para la superaci�n de esta problem�tica explicamos su utilidad por la facilidad que ofrece matem�tica para realizar conversiones entre las formas de representaci�n que fueron consideradas en la propuesta did�ctica.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Alvarez J y Delgado C(2002). La problem�tica Tall � Vinner (Reformulaci�n operativa en el caso de funci�n) Proceedings of the 26th Annual Conference (Short oral communication) (Hay un articulo disponible para los interesados)
[2] Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept Images and Concept Definition in Mathematicswith Particular Reference to Limits and Continuity. Educational Studies in Mathematics, Vol 12, pp. 151-169.
[3] Vinner S (1991). The role of definitions in the teaching and learning of mathematics. Advanced Mathematical thinking. Edited by David Tall. Kluwer Academic Publishers
[4] Grupo de Educaci�n Matem�tica, Departamento de Matem�ticas. Univalle.(2001) El problema de la imagen conceptual en el aprendizaje de funci�n. Doc. 3 Informe final proyecto Los sistemas de computaci�n simb�lica en la ense�anza y aprendizaje de las matem�ticas b�sicas universitarias.
[5] Grupo de Educaci�n Matem�tica, Departamento de Matem�ticas. Univalle.(2001) Documento central del informe final proyecto los sistemas de computaci�n simb�lica en la ense�anza y aprendizaje de las matem�ticas b�sicas universitarias.
[6] Gerard Vergnaud.(1993). La Teor�a de los Campos Conceptuales. Did�ctica de la Matem�ticas. Escuela Francesa. Compilaci�n realizada por Ernesto S�nchez y Gonzalo Zubieta. Dpto. de Matem�tica Educativa. CINVESTAV-IPN M�xico.
[7] Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics. Vol 22, N� 4, pp. 1-32.

Publication Type: Conference Paper/Unpublished Manuscript
Review Method: Peer Reviewed
Abstract: Desde la redemocratización, Argentina y Chile han ensayado distintas estrategias de inserción en el sistema internacional. Para analizar comparativamente los diseños de las políticas exteriores de Argentina y de Chile es preciso dar cuenta de cuáles son las principales diferencias y semejanzas existentes entre ambos. Las divergencias que Argentina y Chile muestran respecto a dónde y cómo insertarse en el sistema internacional no son un tema menor ya que implican consecuencias en el modo en que ambos países se vinculan tanto en el campo político como en el económico

Por un lado, Chile ha consolidado su inserción internacional, ha desarrollado una política de Estado en materia de su estrategia de inserción internacional, especialmente en la dimensión económica-comercial. El diseño de la política exterior de Chile ha exhibido, desde la redemocratización y a lo largo de más de un década, una notable continuidad. El rasgo sobresaliente ha sido, precisamente, la estrategia de inserción internacional. Las características singulares de dicha estrategia son: su inserción múltiple, la fuerte impronta comercial y la preservación de un amplio margen de maniobra individual a través de asociaciones flexibles dentro de la lógica del regionalismo abierto.

Por otro, Argentina ensayó distintas políticas exteriores puesto que ésta ha quedado sujeta a la inestabilidad doméstica. Así, dicha política experimentó algunos cambios: la modificación del sustento teórico; la alteración del orden de prioridades en la agenda, privilegiando la integración latinoamericana en desmedro de una inserción individual y el cambio de posiciones sobre algunos temas puntuales de la política internacional. Por otra parte, hubo cierta continuidad respecto de la importancia de los temas económico-comerciales en la agenda externa puesto que la recuperación económica del país dependía en una buena medida de su reinserción en las corrientes del comercio internacional en un mudo crecientemente interdependiente.

Publication Type: Conference Paper/Unpublished Manuscript
Review Method: Peer Reviewed
Abstract: Reportamos avances de un proyecto de investigaci�n, en proceso, sobre la comprensi�n de la variaci�n, la variable y la simbolizaci�n de variables en relaci�n funcional usando software de geometr�a din�mica. Con esta herramienta hemos dise�ado actividades de exploraci�n de figuras geom�tricas que funcionan como iconos e �ndices de la variaci�n y la variable, puentes tendidos hacia la representaci�n simb�lica de la variable y su comprensi�n. Los resultados obtenidos hasta hoy muestran un importante potencial de estas figuras para apoyar el entendimiento de las variables y su simbolizaci�n en sujetos que inician el estudio del �lgebra.

Introducci�n
La transici�n de la aritm�tica al �lgebra enfrenta a los estudiantes con nuevos conceptos y demanda la adquisici�n de nuevas habilidades de modo que, en esa transici�n, hay diversos retos y dificultades. Varios reportes de investigaci�n han se�alado diferentes problemas que enfrentan los estudiantes al iniciar el aprendizaje del �lgebra, por ejemplo: interpretaciones limitadas del signo de igualdad (Kieran, 1981; Kieran & Sfard, 1999); dificultades para resolver ecuaciones con inc�gnitas en ambos lados de la igualdad (Filloy & Rojano, 1989); falsas concepciones sobre el significado de las literales para las inc�gnitas o variables (Kieran, 1985), o dificultades en el entendimiento de la variable (Fujii, 2003; Moreno & Santill�n, 2002). Con el fin de apoyar y enriquecer los procesos de ense�anza y aprendizaje del �lgebra se han utilizado computadoras y calculadoras e impulsado tratamientos de temas espec�ficos del �lgebra como el concepto de variable usando Logo (Noss, 1986), u hojas electr�nicas de c�lculo (Rojano, 1996), y nuevos enfoques para la ense�anza del �lgebra que promueven el pensamiento funcional apoyado por tecnolog�a computacional (Olive, Banton & Kaput, 2003).
En M�xico el uso de letras para representar f�rmulas de per�metros y �reas se introduce en el nivel b�sico (K-5) sin muchas complicaciones pero, cuando las letras se comienzan a usar para representar cantidades variables, en el primer grado del nivel medio b�sico (K-7), los estudiantes enfrentan serios problemas para aceptar y entender la simbolizaci�n de n�meros por medio de una letra. En esta direcci�n, exploramos el potencial de la geometr�a din�mica (Cabri-g�om�tre) para apoyar el entendimiento de estudiantes que inician el estudio del �lgebra, en particular, la noci�n de variable en relaci�n funcional y su simbolizaci�n. Estudiamos la mediaci�n entre objetos matem�ticos y su aprendizaje con una herramienta espec�fica pregunt�ndonos: �Qu� mecanismos entran en juego en la comprensi�n de la variable en los ambientes de geometr�a din�mica? Esta investigaci�n se ubica en esta corriente.

Nuestra perspectiva conceptual
El aprendizaje del concepto de variable, puede estudiarse paralelamente con la noci�n de variaci�n utilizando el efecto de �arrastre� del software de geometr�a din�mica en construcciones sencillas para explorar relaciones elementales de covariaci�n. Las figuras geom�tricas construidas en este ambiente funcionan como referencias directas de la variaci�n y las variables, como iconos de �stas. Las etiquetas, comentarios y mediciones que se a�aden a las figuras y que proporcionan las herramientas del software, pueden desempe�ar el papel de �ndices de variaci�n y variables, de este modo, el ambiente proporciona dos elementos de la triada peirciana del signo (Peirce, 1987); el s�mbolo, el tercer elemento de la triada, se construye en base en los dos elementos anteriores a trav�s de un proceso de comunicaci�n sustentado en un peque�o conjunto de palabras con significados muy precisos ligados a la herramienta, una especie de lenguaje de comunicaci�n contextuado, con un m�nimo de t�rminos que permite intercambiar y construir significados de las acciones mediadas por el software.
Para utilizar el software es necesario que los estudiantes aprendan los comandos b�sicos, al mismo tiempo, tambi�n aprenden el significado de t�rminos contextualizados como �arrastrar�, �variar� e �invariante�. Trabajando con una serie de cinco actividades, los estudiantes comienzan usar estas palabras para comunicarse y son inducidos por el instructor a valerse de ellas para reflexionar y pensar sobre las acciones que ejecutan con la computadora. As�, aunque esos t�rminos tienen su origen en las acciones e inicialmente funcionan para describirlas, pueden desbordar el plano de la comunicaci�n penetrando en la actividad interna, organiz�ndola, dando sentido a las acciones, construyendo significados.

Estudio exploratorio
Los sujetos participantes en el estudio, con edad t�pica de 12 a�os (K-7), inician el aprendizaje del �lgebra y tambi�n tienen su primera experiencia manipulando una computadora. Esta circunstancia hace necesario un breve periodo de entrenamiento que los familiariza con lo b�sico del software. En el entrenamiento el instructor tambi�n introduce las palabras: arrastre, variaci�n, variable, invariante, relaci�n, funci�n, dependencia intervalo de variaci�n, etc., t�rminos que a trav�s de las acciones mediadas por el software, van adquiriendo significados muy precisos. Terminado el entrenamiento los estudiantes trabajan en parejas durante cinco sesiones realizando pr�cticas orientadas a destacar la variaci�n e invariancia de las construcciones o figuras. Esas pr�cticas van guiando a los estudiantes para responder: �Qu� elementos est�n variando? �Qu� permanece invariante? �De qu� depende la variaci�n e invariancia? �Qu� dependencia hay entre estas dos variables? Despu�s de responder en las hojas de las pr�cticas, cada pareja lee ante sus compa�eros sus respuestas y discuten cu�les son m�s adecuadas, finalmente, el grupo elige la mejor. En este proceso de verbalizaci�n los t�rminos se�alados arriba son utilizados ampliamente.
La figura 1 muestra la construcci�n b�sica de la primera pr�ctica donde un punto m�vil p se desplaza sobre un segmento de longitud AB.
Los estudiantes colocan una etiqueta al punto p y comentarios en los extremos del segmento. Se aplica el comando de medici�n del software y miden las longitudes Ap, pB y AB.




figura 1

Arrastrando p, los valores se actualizan, los participantes toman nota, discuten sus observaciones y se ponen de acuerdo. La meta es simbolizar la relaci�n y las expresiones construidas por los estudiantes son como: �Ap + pB = AB�, o �Ap + pB = 8�. Con la orientaci�n del instructor, obtienen la expresi�n: �x + y = 8�. �Una suma de variables igual a un invariante� lleg� a expresar una pareja de estudiantes.
En este estudio hemos utilizado segmentos de recta, rect�ngulos, tri�ngulos y circunferencias. Se han explorado relaciones entre segmentos de recta, entre �ngulos y �reas y entre per�metros y �reas. En la segunda parte, en proceso, introducimos tablas y gr�ficas como referentes de la variaci�n y variables.

Discusi�n
Previamente a alcanzar las simbolizaciones anteriores los estudiantes producen declaraciones verbales del tipo: �la medida de Ap y pB es igual al segmento AB� �las longitudes de Ap m�s pB es una constante, no cambia� �la suma de los segmentos Ap y pB es invariante� �la suma de la variable x y la variable y no var�a, es invariante�. Estas declaraciones, socializadas en la discusi�n, est�n atadas fuertemente a las manipulaciones de los objetos mostrados en la pantalla, a la interacci�n entre la figura desnuda, y textos como: Ap = 2,2 y pB = 5.8 que se actualizan arrastrando el punto movil p. En esta interacci�n entre lo simb�lico y lo visual hay un enorme potencial para apoyar el entendimiento de la variable, de las funciones y de expresiones como: variables = invariante, la sintaxis y sem�ntica del signo de igualdad en este ambiente din�mico.

Conclusi�n
La simulaci�n con software de geometr�a din�mica tiene gran potencial para apoyar los procesos de percepci�n y entendimiento de la variaci�n y en la construcci�n de significados del concepto de variable en relaci�n funcional. Pero, los nuevos enfoques en la ense�anza y aprendizaje del �lgebra, sustentados en computadoras y calculadoras, tambi�n representan nuevos problemas y retos para la investigaci�n en educaci�n matem�tica. A�n hay cosas para explorar y entender.

Referencias
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Fujii, T. (2003) Probing students� undertanding of variables through cognitive conflict problems: is the concept of a variable so difficult for students to undertand? Proceeding of the PME XXVII and PME-NA XV. Vol. 1, pp. 49-65.
Kieran, C. (1981) Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, pp. 317-326.
Kieran, C & Sfard, A. (1999) Seeing through symbols: The case of �equivalent expressions, Focus on Learning Problems in Mathematics, Vol. 21, No. 1. Center for Teaching/Learning of Mathematics.
Moreno, L. & Santill�n, M. A. (2002) Visualizing and understanding variation. Proceedings of the Twenty-Fourth Annual Meeting. PME-NA XXIV, Vol. 2, pp. 907- 914. Eds. Denise S. Mewboom, et al. ERIC.
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Wertsch, J. (1993) Voces de la mente (Un enfoque sociocultural para el estudio de la acci�n mediada) Ed. Visor.



Figura 1

Publication Type: Conference Paper/Unpublished Manuscript
Review Method: Peer Reviewed
Abstract: El podlatch, la minga, el ayllú y el sumaq kawsay son prácticas ancestrales que estaban presentes en la América anterior al proceso de expansión capitalista iniciado con la colonización europea. Todas ellas constituían formas de asociación comunal y societal de carácter colectivo las cuales fueron perseguidas, aisladas y casi extinguidas durante la instauración de la modernidad a la que entramos, al decir de Enrique Dussel, en calidad de sirvientes. Tales prácticas se han mantenido, de un modo u otro, conjuntamente con la resistencia de los pueblos latinoamericanos y cobran una gran fuerza, en tanto alternativas al orden del capital, en las condiciones actuales, particularmente con el fortalecimiento de proyectos de transformación social como los casos de Venezuela, Ecuador y Bolivia.



Es de sumo interés la sistematización de las experiencias del sumaq kawsay (en los andes ecuatorianos principalmente) y sumaq kamaña (en el altiplano boliviano) las cuales expresan formas y modos de relacionamiento social, de producción y reproducción de la vida a partir de la preservación de las fuentes de la vida y desde una perspectiva de igualdad y respeto de la diversidad, que desafían radicalmente el proyecto civilizatorio del capital.



Estas prácticas se constituyen en horizontes de sentido para la articulación de proyectos emancipatorios más allá de los límites de la propuesta productivista, extractivista y depredadora del capitalismo, y de este, como modo de convivencia humana.

Publication Type: Conference Paper/Unpublished Manuscript
Review Method: Peer Reviewed
Abstract: This paper asks how immigrant workers might help move the political culture in the United States in a radical-democratic direction, in significant part by suggesting alternative ways for imagining the conjunction between family experiences and democratic engagement. I investigate this possibility by listening to how immigrant workers themselves tell the stories of their migration to the United States, their working lives, and their union activism. The paper is based on interviews with activists in a major recent uprising of immigrant workers against working conditions in meatpacking. For each of these immigrant workers, it becomes clear that a sense of devotion to their families has largely inspired their decisions to migrate north of the border, to seek work in the industrial wage labor sector, and to take on a leading role in the union. More than this, their stories convey how each of these spheres supplies a practical context for demonstrating to themselves and to others their capacities to care for their children and others in their extended families. Thus, when they stand up to abusive supervisors, lead campaigns in the courts claiming unpaid back wages, and coordinate militant actions of collective protest such as the strike, they do these things as agents of family responsibility � and as persons whose agency in this regard has been generated significantly through processes of immigration.

In part, it is precisely an abiding sense of racial-nationalist authenticity, performatively secured through demonstrating dedication to one�s children and family, that enables the narrative in each case to turn the corner such that the project of verifying one�s identity as an individually responsible family member ends up enlivening rather than foreclosing forms of activism with radical-democratic overtones. As the condition of possibility for this transmutation, racial nationalism thus circumscribes the very universe of collective action that it makes available to these immigrant workers. All these women, however, also speak in ways that undercut their own racial-nationalist rhetoric and in doing so open up more politically promising ways of imagining the connection between family devotion and union solidarity.